Il paradosso del barbiere
Un interessante questione riguardante il concetto di insieme in matematica proviene dal cosiddetto paradosso del barbiere, proposto dal filosofo Bertrand Russel quasi un secolo fa. Un insieme è una collezione di elementi qualsiasi, per esempio di studenti oppure di scuole oppure di città. Si indica con la lettera maiuscola, mentre i suoi elementi sono denotati da quella minuscola. Gli insiemi si possono rappresentare graficamente e su essi si possono effettuare operazioni, spiegate nel Corso zero ‘Ripasso di matematica’ (http://www.29elode.it/ripasso-di-matematica-equazioni-disequazioni-trigonometria-corso-zero).
Pensiamo a un paese con un solo barbiere in attività e consideriamo questi due insiemi: uno (lo chiamiamo A) costituito da tutti gli uomini che si fanno la barba da soli, l’altro (B) da quelli che si fanno radere dal barbiere. Chiediamoci ora a quale insieme, tra questi due, appartiene il barbiere. Non possiamo includerlo in A, tra quelli che si radono da soli, perché si fa radere dal barbiere; ma non possiamo includerlo nemmeno in B, tra coloro che vanno dal barbiere, perché si rade da solo.
Questo paradosso, o più precisamente antinomia, unitamente ad altri simili, evidenzia che definire una proprietà non comporta automaticamente l’individuazione di tutti gli elementi che godono di quella proprietà. Nel nostro caso è difficile definire l’insieme delle persone che NON hanno bisogno del barbiere senza includere l’insieme stesso, così come, per esempio, è difficile definire l’insieme degli oggetti che non sono bicchieri senza possedere un valido criterio decisionale: il paradosso sta nel fatto che all’interno dell’insieme delle cose che non sono bicchieri bisogna includere l’insieme stesso, perché esso non è un bicchiere.
La questione evidenziata da questi paradossi – ossia la difficoltà di definire con precisione quando un elemento appartiene a un insieme e quando non vi appartiene –è tuttora controversa e ha avuto conseguenze importanti sui fondamenti della matematica, che hanno portato a una riformulazione della teoria degli insiemi.